14 分布の推定

統計的手法では正規分布を仮定し、平均と分散のみに着目をすることが多いです。しかし、正規分布とは異なる分布と実際になることも多く、分布をより柔軟に捉えたいこともよくあります。ここでは、経済学の実証研究でもよく用いられる分布・密度を推定する手法を学びます。

1. 分位回帰
2. カーネル密度推定

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1. 分位回帰

要点

• 平均の「差」のみでなく、分布それぞれの分位点の「差」を推定できる (ただし、特定の個人に対する効果ではないことに注意)

• 分位回帰(quantile regression)では、チェック関数$\rho (\varepsilon)$ の最小化問題を解く $$\min_{\beta_{\tau}}\sum_{i}\rho\left(\varepsilon_{i}\right)$$ ここで、 $$\begin{aligned} \varepsilon_{i} & =y_{i}-X_{i}\beta_{\tau}\\ \rho\left(\varepsilon_{i}\right) & =\tau\varepsilon_{i}1(\varepsilon_{i}>0)+\left(1-\tau\right)\left(-\varepsilon_{i}\right)1(\varepsilon_{i}\leq0) \end{aligned}$$

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2. カーネル密度推定

要点

• 十分な数の正規分布の混合分布によって、あらゆるスムーズな密度を任意に近似できる

• カーネル関数$K(.)$を用いて、データの測定値$X_1, X_2, ..., X_n$ を所与としたとき、値$x$におけるカーネル密度関数は $$\hat{f}\left(x\right)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_{i}}{h}\right)$$

• 平滑化パラメータ$h>0$が大きすぎると適合不足となり、小さすぎると過剰適合となる

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参考文献

Roger Koenker and Kevin Hallock, “Quantile Regression.” 2001. Journal of Economic Perspectives.

Joshua Angrist and Jorn-Steffen Pischke “Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist’s Companion”, 2009. Princeton University Press

Qi Li and Jeffrey Racine, “Density Estimation, from Nonparametric Econometrics: Theory and Practice” 2006. Princeton University Press.

Bernard Silverman “Density Estimation for Statistics and Data Analysis.” 1986 Chapman and Hall