3 確率変数と確率分布

確率分布は、すべての統計的推論の基盤となる「概念装置」である。この「装置」は極めて抽象的であり、最初は、具体的にどう役立つか見えづらいかもしれない。講義全体で最も分かりづらいと覚悟して、ここではまずその「装置」に触れてほしい。

確率変数と確率分布

確率変数のばらつき

連続型と離散型の確率分布

モンテ・カルロ法と逆関数法

1. 確率変数と確率分布

要点

確率変数とは、事象空間から実数空間への「関数」である
\(F(x)\) が分布関数となる条件とは、分位関数( \(F^{-1}(q)\approx\)分布関数の「逆関数」)が存在することである
確率変数の中心的傾向を表す代表値である期待値\(\mu\)と中央値\(m\)を、分位関数を用いて定義できる \[ \mu = \mathbb{E}[X] \equiv \int ^1_0 F^{-1}(q)dq \\ m \equiv F^{-1}(\frac{1}{2}) \]
確率変数\(Y = aX + b\) の期待値について、以下の関係が成り立つ \[ \mathbb{E}[Y] = a\mu + b \]

2. 確率変数のばらつき

要点

確率変数のばらつきを表現するために、分散\(V\)や絶対偏差\(AD\) を用いる \[ \sigma^2 = V(X) \equiv \mathbb{E} [(X - \mu)^2]\\ AD(X) \equiv \mathbb{E} |X - \mu| \]
平均二乗誤差(MSE = Mean Squared Error)は、系統誤差Bias \(= \mathbb{E}[\hat{\mu} - \mu]\) の二乗と偶発誤差Variance \(= V(\hat{\mu})\) に分解できる \[ MSE \equiv V(\hat{\mu} - \mu ) = \mathbb{E}[\hat{\mu} - \mu]^2 + V(\hat{\mu}) \]
確率変数\(Y = aX + b\) の分散について、以下の関係が成り立つ \[ V (Y) = a^2 \sigma^2 \]

3. 連続型と離散型の確率分布

要点

分布関数の増加の度合を表現するために、連続型については微分可能なときに確率密度関数(probability density function)を用い、離散型については確率質量関数(probability mass function)を用いる
計測するとき・コンピュータにおいては、実際に連続的であっても離散的に扱う。概念的に議論するときにおいては、厳密には離散的であっても連続的に考える
「連続型かつ離散型である」分布や、「連続型でも離散型でもない」分布も存在する

4. モンテ・カルロ法と逆関数法

要点

参考図書・文献

東京大学教養学部統計学教室『基礎統計学I 統計学入門』東京大学出版会、1991年

鎌谷研吾・小牧文保『データサイエンス入門シリーズ　モンテカルロ統計計算』講談社、2020年